Der Astronom Galileo Galilei bemerkte 1623, dass das gesamte Universum „in der Sprache der Mathematik geschrieben ist“, und in der Tat ist es bemerkenswert, in welchem Ausmaß Wissenschaft und Gesellschaft von mathematischen Ideen bestimmt werden. Es ist vielleicht noch erstaunlicher, dass auch die Musik mit all ihrer Leidenschaft und Emotion auf mathematischen Beziehungen beruht. Solche musikalischen Begriffe wie Oktaven, Akkorde, Tonleitern und Tonarten können alle entmystifiziert und mit Hilfe einfacher Mathematik logisch verstanden werden.

Tonhöhe: Wellenfrequenzen

Gitarre spielen

Diagramm 1

Eine Grundregel besagt, dass höhere Töne eine höhere Frequenz haben, was einem häufigeren Eintreffen von Lufttaschen entspricht. Zum Beispiel hat der Ton mittleres G (sieben Halbtöne höher als das mittlere C) eine Frequenz von etwa 392 Hertz, was 392 Lufttaschen pro Sekunde entspricht, oder einem Zeitraum von 0,00255 Sekunden zwischen den Ankünften:

Diagramm 2vorbeifahrender Krankenwagen
der SaitenteilDiagramm 3Diagramm 4Gitarrengriffbrett
diagram 5diagram 6

Warum klingen diese drei Töne – C, E und G – zusammen so süß? Schauen wir uns das mal an.

Diagramm 7Klaviertastatur

Auf der anderen Seite hat der mittlere Fis-Ton eine Frequenz, die 1,414214 mal so groß ist wie die des mittleren C. Die Zahl 1,414214 ist nicht allzu nahe an einem schönen einfachen Bruch (sie ist nicht allzu weit entfernt von 1,4 oder 7/5, aber Zahlen wie 7 sind zu groß, um eine große Hilfe zu sein). Deshalb passen die Töne Fis und C nicht gut zusammen.

Um herauszufinden, welche Noten gut zusammenpassen, müssen wir also nicht raten, oder Versuch und Irrtum anwenden, oder jahrelang Musiktheorie studieren. Wir müssen uns nur an das Prinzip der gleichschwebenden Stimmung erinnern und Kopien von 1,059463 miteinander multiplizieren, um zu sehen, ob wir ein einfaches Verhältnis der Frequenzen erhalten.

Entsperren des Schlüssels

noten

Das Ändern der Tonart eines Liedes hebt oder senkt alle Noten um den gleichen Betrag. Diese Änderung kann dazu führen, dass das Lied auf einem bestimmten Musikinstrument bequemer zu spielen ist oder dass es für einen Sänger angenehmer zu begleiten ist. Wenn es richtig gemacht wird, sollte die Tonartänderung im Wesentlichen keinen Einfluss auf die Art und Weise haben, wie der Song „klingt“ – er sollte in der neuen Tonart genauso erkennbar, genauso schön und genauso eingängig sein wie in der alten. Es sollte sogar genau derselbe Song sein, nur in einer höheren oder tieferen Tonlage gespielt.

Wie kann das sein? Wie kann ein Lied das gleiche sein, aber anders? Wie kann man die Tonhöhe ändern, ohne die Melodie zu verändern?

Ausgehend von unserem Verständnis von Frequenzen ist die Antwort klar. Um die Noten (sagen wir) höher zu machen, machen wir ihre Frequenzen schneller, d.h. wir machen die X’s näher zusammen. Aber damit der Song gleich klingt, lassen wir die Beziehungen zwischen den X’s so, wie sie vorher waren. Wir komprimieren jede Reihe von X’s um genau den gleichen Faktor. Äquivalent dazu heben wir jede Note um genau die gleiche Anzahl von Halbtönen an.

Angenommen, Sie spielen einen Song in der Tonart C und verwenden einen C-Dur-Akkord mit den Noten C, E und G wie zuvor. Dann möchten Sie in die Tonart E wechseln und stattdessen einen E-Dur-Akkord verwenden. Wie machen Sie das?

Nun, um das mittlere C in ein mittleres E zu ändern, müssen Sie den Ton um vier Halbtöne anheben, oder äquivalent die Frequenz mit 1,259921 multiplizieren. Um den Klang des Akkords zu erhalten, müssen Sie also exakt das Gleiche mit den anderen beiden Noten machen. Das mittlere E wird ebenfalls um vier Halbtöne angehoben, wobei die Frequenz mit 1,259921 multipliziert wird, um zum mittleren Gis zu werden. Und das mittlere G wird um vier Halbtöne zum hohen B angehoben. Die resultierenden Luftsackankünfte sehen so aus:

diagram 8jazz_singer

Die magische Mathematik der Musik